趣味数学:海盗分金币

老王 15天前 123

5 个海盗抢得 100 枚金币后,讨论如何进行公正分配。他们商定的分配原则是:  

1、抽签确定各人的分配顺序号码(1,2,3,4,5);  

2、由抽到 1 号签的海盗提出分配方案,然后 5 人进行表决,如果方案得到超过半数的人同意 ,就按照他的方案进行分配,否则就将 1 号扔进大海喂鲨鱼; 

3、如果 1 号被扔进大海,则由 2 号提出分配方案,然后由剩余的 4 人进行表决,当且仅当超过半数的人同意时,才会按照他的提案进行分配,否则也将被扔入大海; 

4、依此类推。 

这里假设每一个海盗都是绝顶聪明而理性,他们都能够进行严密的逻辑推理,并能很理智的判断自身的得失,即能够在保住性命的前提下得到最多的金币。同时还假设每一轮表决后的结果都能顺利得到执行,那么抽到 1 号的海盗应该提出怎样的分配方案才能使自己既不被扔进海里,又可以得到更多的金币呢? 



解题思路 1: 

首先从5 号海盗开始,因为他是最安全的,没有被扔下大海的风险,因此他的策略也最为简单 ,即最好前面的人全都死光光,那么他就可以独得这 100枚金币了。   

接下来看 4 号,他的生存机会完全取决于前面还有人存活着,因为如果 1 号到3号的海盗全都喂了鲨鱼,那么在只剩 4号与 5 号的情况下,不管 4 号提出怎样的分配方案,5 号一定都会投反对票来让4 号去喂鲨鱼,以独吞全部的金币。哪怕 4 号为了保命而讨好 5 号,提出(0,100)这样的方案让 5 号 独占金币,但是 5 号还有可能觉得留着 4 号有危险,而投票反对以让其喂鲨鱼。因此理性的4 号是不应该冒这样的风险,把存活的希望寄托在 5 号的随机选择上的,他惟有支持 3 号才能绝对保证自身的性命。  

再来看 3 号,他经过上述的逻辑推理之后,就会提出(100,0,0)这样的分配方案,因为他知道 4 号哪怕一无所获,也还是会无条件的支持他而投赞成票的,那么再加上自己的 1票就可以使他稳获这 100 金币了。但是,2 号也经过推理得知了 3 号的分配方案,那么他就会提出(98,0,1,1)的方案。因为这个方案相对于 3 号的分配方案,4号和 5 号至少可以获得 1 枚金币,理性的 4 号和5 号自然会觉得此方案对他们来说更有利而支持 2 号,不希望 2 号出局而由 3号来进行分配。这样,2 号就可以屁颠屁颠的拿走 98 枚金币了。不幸的是,1 号海盗更不是省油的灯,经过一番推理之后也洞悉了 2 号的分配方案。他将采取的策略是放弃 2 号,而给3号 1 枚金币,同时给 4号或 5 号2枚金币,即提出(97,0,1,2,

0)或(97,0,1,0,2)的分配方案。由于 1 号的分配方案对于 3 号与4 号或5 号来说,相比 2号的方案可以获得更多的利益,那么他们将会投票支持 1 号,再加上 1 号自身的 1 票,97 枚金币就可轻松落入 1 号的腰包了。


解题思路 2: 

为更清晰表达,我们将上述分析列表如下: 

 


标准答案: 

1 号海盗分给 3 号1枚金币,4 号或 5 号2 枚金币,自己则独得 97 枚金币,即分配方案为(97,0,1,2,0)或(97,0,1,0,2)。 


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